前言

         非线性现象广泛地存在于物理学、化学、生命科学、地球科学等领域，随着科学技术日新月异的发展，对非线性系统的研究也越来越深入。其中，非线性系统正演分析方法已有众多中英文书籍与资料可供参考和借鉴，而关于非线性观测数据反演分析方法的书籍与资料却相对较少，从中寻找一本内容新颖且理论联系实际的研究生教材尤为困难。迄今，如何从实验观测数据角度对非线性系统进行数学定量描述，并提取系统有用信息仍是具有挑战性的前沿课题。

         多年前，作者面向天津大学电气与自动化工程学院研究生开设了“非线性信息处理技术”课程，本书是此课程教学讲义的汇编。本书着力从实验观测数据角度讨论非线性系统的重要特征，如自相似性、长程相关性、复杂性、递归性、不确定性、非稳定性、非均衡性、非对称性、涌现性、聚集性等，以期学生对正在发展的非线性信息处理技术有所了解，并为之今后研究非线性科学打下基础。

         本书力求主线清晰，循序渐进，内容涉及非线性系统实验观测数据的单尺度分析方法、多尺度分析方法、复杂网络分析方法、吸引子不稳定周期轨道探寻方法。本书的编写思路：首先，描述各种非线性分析方法的数学原理；其次，通过经典非线性系统仿真分析验证算法的可行性；最后，通过大量应用实例加深对非线性分析方法的认识与体会。考虑到不同层次学生的课题研究需求，本书理论深度适中，书中每章结尾都标注文献出处；为方便学生课后深入学习与研究，每章都配有适量思考题。

         本教材内容安排如下。第1 章介绍了混沌与分形的基本知识，为后面各章学习打下基础。第2 章及第3 幸介绍了传统的分形及混沌时间序列分析方法，在算法描述的基础上，突出了算法评价与应用举例。第4 章介绍了非线性时间序列递归图分析方法，通过实际应用举例，阐述了递归图分析方法的直观适用性。第5章介绍了混沌吸引子形态特征分析方法，着重讨论了吸引子形态特征提取方法，强调统计分析方法与吸引子形态特征提取方法相结合。第6 章从多尺度角度介绍了非线性系统微观（小尺度）及宏观（大尺度）结构特征提取方法，该方法是对羊尺度分析方法的重要拓展，属非线性分析方法前沿领域的内容，对非平稳、非线性信号分析具有较高的实际指导意义。第7 章介绍了几种重要的复杂性测度概念，讨论了与时间和符号序列有关的复杂性测度分析方法。第8 章介绍了非线性时间序列复杂网络分析方法。复杂网络作为一个全新而又有效的工具，不仅可以挖掘包含在非线性时间序列中的重要信息特征，而且可用于研究理论模型所不能

精确描述的非线性动力学系统。第9 章介绍了吸引子不稳定周期轨道探寻。不稳定周期轨道是构成吸引子结构的“骨架”，从实验观测数据中提取不稳定周期轨道运动特性，有助于理解和掌握非线性系统内在混沌动力学特性。

          本书第1 幸至第7 幸由全宁德编写，第8 幸及第9 章由高忠科编写。在本书编写过程中得到了天津大学课题组成员的大力帮助，书中的诸多应用实例取自作者指导的历届硕博研究生的辛勤研究成果，在此向他们表示衷心感谢。

          感谢国家自然科学基金委资助项目（ Nos. 60374041 、50674070 、50974095 `41174109 、11572220 、51527805 、61104148 、61473203 、41504104 ）、国家高技术研究发展计划项目（ No. 2007 AA06Z231 ）、“十二五”国家科技重大专项（ No.2011 ZX05020 －＜〕06 ）的大力支持，正是在上述研究项目的资助下，课题组开展了有关多相流传感技术与流体流动的研究，同时促进了多相流非线性物理学的发展。

          此外，特别感谢天津大学“研究生创新人才培养”项目（ No. YCX12033 ）的资助，使

本书得以在天津大学出版社出版。

          由于非线性科学发展非常迅速，本书仅是非线性分析方法的阶段性总结。限于作者水平，书中难免存在不足和疏漏之处，敬请读者不吝赐教。

                                                                                                  作者

                                                                                             2017 年1 月

目录

第1 章混沌与分形简介…………………….........….........…...............……. (1 )

1. 1 j昆沌发展简史………………………………………………………………………… (1 )

1. 2 几种典型的混沌系统……………………………………………………………….. ( 2 )

1. 2. 1 洛伦兹混沌系统……………………………………………………………. ( 2 )

1. 2. 2 Rossler 混沌系统…………………….......………...........……………（ 4）

1. 2. 3 Logistic 映射……………………………………………………………………… （ 6 )

1.2.4 出non 映射…………………………………………………………. ( 8 )

1. 3 定性观测混沌方法……………………………………………………………… …（ 10 )

1. 3. 1 功率谱法……………………………………………………………………… （ 10 )

1. 3. 2 往返图…... ... .….......………..................……………………………… ( 10 )

1. 3. 3 递归图…………........…….........……….........…….........….........…. ( 10 )

1. 3. 4 混沌吸引子……………………........………………….......…………… ( 12 )

1. 3. 5 庞加莱截面………………………………………………………………… (13 )

1. 3. 6 李雅普诺夫指数法…………………………………………………………… (1的

1. 4 通向混沌的主要途径……………………...............….. (15 )

1. 4. 1 倍周期分岔道路……………………………………………………………… (15 )

1. 4. 2 阵发性温沌道路……………………………………………………………… （ 17 )

1. 4. 3 Ruelle-Takens 道路…………………………………………………………… (17 )

· 1. 4. 4 哈密顿系统的KAM 环面通向混沌的道路…….........….................… (18 )

1. 5 分形现象…………………………………………………………………………… (18 )

1. 5. 1 分形的定义…………………………………………………………………… （ 19 )

1. 5. 2 规则分形……………………………………………………………………… ( 20 )

1. 5. 3 元规分形……………………………………………………………………· ( 21 )

1. 6 分形维数………………………………………………………………………… （ 23 )

1. 7 元规分形生长模型……………………………………………………………… （ 28 )

1. 7. 1 扩散置限凝聚模型………………………………………………………… ( 29 )

1. 7. 2 弹射凝聚模型………………………………………………………………… 口的

1. 7. 3 反应控制凝聚模型…………………………………………………………… （ 31 )

1. 7. 4 其他模型…….....………………………………………………………… （ 32 )

1. 8 思考题……………………………………………………………………………… （ 33 )

第1 章参考文献……………………………………………………………………… …… （ 33 )

2 非线性信息处理技术

第2 章分形时间序列分析.…………………………………………………………·口的

2. 1 分形布朗运动（ fB m ） ……....……………………………………………………… （ 36 )

2. 2 分形时间序列分析方法…………………………………………………………… （ 38 )

2.2. 1 域重新标度极差分析方法（ RIS 法） …….......…....................... ( 38 )

2.2. 2 消除趋势波动法（ DFA 法） ……......…….....................…....( 39 )

2.2. 3 半方差方法（ SV 法） ………………………………………………… …. (40 )

2.2. 4 功率谱密度分析法（ PSD 法） …………………………………………………(40 )

2.2.5 离散分析方法（ DISP 法卜………………………………………………...... (40 )

2.2.6 变尺度加窗方差法（ SWV 法） ………………………………………………… （ 40 )

2.3 分形标度算法评价… … …………………………………………………………… （ 41 )

2.3. 1 元噪声分形标度算法评价……………………………………………………（ 41 )

2.3. 2 有噪声分形标度算法评价………........…………......................... ( 45 )

2. 4 幅值与符号相关性….......………………………......….........……………· ( 51 )

2.5 多重分形奇异谱……………………………………………………………………（ 52 )

2. 6 多重分形消除趋势波动分析法（ MF-DFA 法） …………………………………… ( 55 )

2. 7 小波变换模极大值（ WTMM ）法多重分形分析…………….......…( 56 )

2.8 应用举例（ I ）一一多相流分形动力学….....................…....................... ( 56 )

2. 8. 1 气液两相流分形标度指示特性………...........................…( 56 )

2. 8.2 气液及油水两相流多重分形特性…………………………………………… （ 61 )

2. 8. 3 油气水三相流流型幅值与符号相关特性………......…........….....….. ( 71 )

2.9 应用举例（ II ）一一人体心跳分形动力学…..…....……… (79 )

2. 10 思考题…...……….......…............................( 82 )

第2 章参考文献…………………………………………………………………………… （ 83 )

第3 章相空间重构………………………………………………………………........…· ( 85 )

3. 1 嵌入相空间………………………………………………………........…………· ( 85 )

3. 1. 1 相空间重构思想………………………………………………… （ 85 )

3. 1. 2 嵌入概念......……..........................................（  86）

3. 1. 3 嵌入定理……………………………………………………………………… （ 87 )

3. 2 延迟时间算法………………………………........…. (87 )

3.2. 1 自相关法（ I ) ………………………………………………………………· ( 87 )

3.2. 2 自相关法（ II ) …………………..............………………….........……… ( 88 )

3. 2. 3 互信息法…………………… … ……………………………………………… （ 89 )

3. 2.4 ιc 算法….....………...................................... ( 92 )

3.3 延迟时间算法评价.. .....… … …………… … … …… … ……… .......……………· ( 95 )

3. 3. 1 元噪声延迟时间算法评价…….......……………... .....….......….. ...... ... ( 95 )

3. 3. 2 有噪声延迟时间算法评价…………………………………………………… (96 )

3.4 嵌入维数算法……· · ………………………………… …………… ……… ……… · ( 98 )

,

目录3

3.5 1昆沌不变量…………………………………………………………………………(99 )

3. 5. 1 关联维数……………………………… ………….. .... . ..…….......………. . ( 99 )

3. 5. 2 Kolmogorov J脑…........….........…………………………·………………… （ 101 )

3.5. 3 近似恼…·……………………………………… …… ……………………….. ( 104)

3.5.4 李雅普诺夫指数………… ….........…….......……… …………………….. (106 )

3.6 混沌时间序列分析应用举例…·…………………………………………………· · (114)

3. 6. 1 气固流化床中的混沌现象……………………........… …… .. ...... . ………· (114 )

3.6. 2 气液两相流多孔鼓泡过程的混沌分析……··…………......……….......... (115)

3.6. 3 气液两相流单孔鼓泡过程的混沌分析......... .. ..... … ... ..................….. (117)

3.6.4 倾斜油水两相流动力学差异指示……………………………………………（ 122 )

3.6.5 皮层脑电时间序列非线性特征量提取……….. ... . ... . . ..... . ... · · · · · · · · · · · .. · .. ( 126 )

3. 7 思考题…… …………………...... . .…......... … …………………………………· (127 )

第3 章参考文献………………………… …………………… …………………………（ 128 )

第4 章递归图及递归定量分析… .. .... ..… .. ... . ... … … … …………………·………… （ 131 )

4. 1 递归图………. .......……………………………….... .. . ..……….........………· (131)

4.2 递归图基本结构仿真…·……………… … ……… ………………………………· · (133 )

4.3 递归图线条纹理仿真…·…………………………………………………………· · (139)

4.4 几种典型非线性系统递归图……………………… … …………………………… (146 )

4.5 递归定量分析………………………... .. .. ……… ……………………··………… (151 )

4.6 递归图分析应用举例………………………………… ………………………… …（ 154 )

4.6. 1 生理信号递归分析…………… ………………… …………………………… （ 154 )

4.6.2 气液两相流流型递归特性…...... ..…·….. . ...…...... . . ....................…. . (157)

4. 7 思考题……………… … …........……………. .. ...……….... . ....………………· (160)

第4 章参考文献… … …………………………………………………………………… (161 )

第5 章混沌吸引子形态特征分析………………......….... ....…............... . ... . ..… （ 162)

5. 1 吸引子矩特征量描述方法………… ………………………… ……………………（ 162 )

5. 1. 1 相空间嵌入参数……………………………………………………………… (162 )

5. 1. 2 参考截面系和吸引子矩…………........……… …. .... . . .. ……………·……（ 163)

5. 1. 3 吸引子形态特征提取………………………………………………………… （ 165 )

5. 1. 4 气液两相流流型吸引子形态分析........….........……….........…………· (166 )

5. 1. 5 油气水三相流流型吸引子形态分析.......………….......…………………· (169 )

5. 1. 6 气固两相流压力波动信号非线性分析… ·……...... ..... . ...…....... .. . . . . .. . . (177 )

5.2 吸引子形态周界测度分析…………………………………………………………（ 180 )

5.2. 1 吸引子面积、长轴、短轴………... .. ... ………… .. . . .....…........………….. (180 )

5.2.2 不同类型信号吸引子周界测度分析……….......…. . . .. .. ..... . ............…· (180 )

5.2.3 倾斜油水两相流流型分类……… …………………………… ……………… (183 )

5.3 高维相空间吸引子多元图重心轨迹特征………........….........… .. .......……· ( 185 )

4 非线性信息处理技术

5. 3. 1 多元图嵌入方法及其重心特征提取…………………….......…........…… (185)

5.3. 2 多元图表示………........….........………………………….........………· (185)

5. 3.3 多边形重心提取算法……………………........………………… (186)

5. 3.4 典型信号多元图重心轨迹动力学特性………………............( 186 )

5. 3.5 多元图重心轨迹矩特征量…………………………………………………… (188 )

5. 3.6 气液两相流多元图重心轨迹动力学特性分析…………………… （ 189 )

5.4 吸引子概率分布差异统计特性…………………………………………………… （ 195 )

5.4. 1 吸引子概率分布差异算法…………………………………………………… （ 195 )

5. 4. 2 Logistic 混沌序列吸引子概率分布差异………………...….......... (196)

5.4.3 油气水三相流流型识别……………………………………………………… （ 197 )

5. 5 多尺度差值散点图几何形态分析…………………………………………………（ 20的

5. 5. 1 典型信号多尺度散点图形态特性分析..............….......... ( 205 )

5.5.2 油水两相流分散相液滴非均匀分布标度指示…….............………........ (207)

5.6 思考题…….............………………......……… (216 )

第5 章参考文献…………………………………………………………………………（ 216)

第6 章多尺度非线性分析…………… ……………………………………… （ 2 19 )

6. 1 多尺度样本情…… · ·……………………………………………………………… · (219)

6 1. 1 样本’脑……………………………………………………........……………· (219)

6. 1. 2 多尺度样本恼算法…………………………………………………………… （泣的

6. 1. 3 典型信号的多尺度样本恼……………………………………………（ 221)

6. 2 多尺度交叉情…… …………………………………………………………………（ 222)

6. 3 多尺度排列恼………………………………………………………………………（ 226)

6.4 多尺度加权排列’脑……………………………………………………………· (226)

6.5 多尺度复杂情因果关系平面……………………………………………………… （ 232)

6. 5. 1 统计复杂性测度… ……………………………………………………………（ 232 )

6.5.2 几种典型信号复杂情因果关系平面.. ......………….............................. ( 234 )

6.5. 3 多尺度复杂J脑因果关系平面…………………………........………………· (235)

6.6 多尺度时间不可逆性……………………………………………………………… （ 239)

6.6. 1 时间不可逆性………………………………........……………………… (240 )

6.6. 2 典型信号的多尺度时间不对称性分析….......….....……….......... (241 )

6. 7 生理信号多尺度样本恼分析…….......................…(244)

6. 8 气液两相流流型多尺度恼分析…………………………………………………（ 246)

6.9 多尺度复杂孀因果关系平面特征分析…….......…...................……（ 248)

6. 10 油水两相流多尺度加权排列’脑分析… ………………………………………… （ 251)

6. 11 气液两相流段塞流结构不对称性分析……........……..............….......... ( 259 )

6. 12 多尺度加权复杂情因果关系平面….... ... .………………………... .. ....……(262 )

6. 13 多尺度去趋势互相关分析………………………………………………………（ 268)

目录5

6. 14 多元时间序列多尺度样本恼分析……...................................….......... (270)

6. 15 思考题………………………………………………….............. ...…………· (273)

第6 章参考文献……………………….…………………….. (273)

第7 章复杂性测度分析……………........………………………...... ...…………… （ 277)

7. 1 Kolmogorov 复杂性………………………………………………………………· (277)

7. 2 Lempel♂iv 复杂性………………………..............……..........…........…… (278)

7. 2. 1 Lempel-Ziv 复杂性算法………………………………………………（ 279)

7.2. 2 粗粒化问题…………………………………………………………………··叫279)

7. 2. 3 序列长度影响........….........……………….........………………..… (280)

7. 2. 4 Logistic 映射的Lempel-Ziv 复杂性……………........…….......…....... (281)

7. 2.5 常见信号的Lempel-Ziv 复杂性比较…………........…………........…… (283)

7.3 涨落复杂性…………………………………………..............………..........…（ 286)

7. 3. 1 涨落复杂性的定义与计算方法………………………………………………（ 286)

7. 3.2 用涨落复杂性分析Logistic 映射…….......…................…................ (287)

7. 3.3 常见信号的涨落复杂度比较…………………………………………………（ 288)

7. 4 用近似情表示的复杂性测度………………………………………………………（ 288)

7. 4. 1 Logistic 映射的近似’脑…………………………………………………………（ 289)

7.4.2 常见信号的近似摘比较……………………………………………….. (289)

7.5 气液两相流复杂性测度分析…………………………………………………（ 29.）

7.6 符号时间序列分析…·……………………………………………………………· · ( 291)

7.6. 1 符号序列生成………………………………………………………………（291)

7.6.2 描述符号序列的统计量………………………………………….......…….. (292)

7.6. 3 符号序列统计量表征气液两相流流型…………..............…............... (296)

7. 7 思考题……………………………………………………………………………（ 299)

第7 章参考文献………………………………………………………………………（299)

第8 章复杂网络建模方法………........…….........….........…... ( 301 )

8. 1 复杂网络的类型及描述形式．…………………………………………………· ( 301)

8. 2 复杂网络的基本统计量…………………………………………………………· (303)

8.3 小世界和无标度网络模型………………………………………………………… （ 305)

8. 3. 1 规则网络……….........………........………….………………………… ( 305 )

8. 3.2 随机网络……..... ...……… ………………………….........……………… （ 306)

8. 3.3 小世界网络……………………….....………….......……………………（  306）

8. 3. 4 元标度网络…·………………………………………………………………（  307）

8.4 复杂网络中的分形……..........................…………………..........…......... (308)

8.5 复杂网络社团结构及其探寻算法……..........................…..................…· (311)

8. 5. 1 复杂网络社团结构……………….................…........................……· (311)

8. 5. 2 GN 算法（分裂算法）…………………………………………………………（ 313）

6 非线性信息处理技术

8. 5. 3 Newman 快速算法（凝聚算法） …………………………….............( 315)

8.6 时间序列复杂网络构建方法…...….........…………………… （ 3 16 )

8.6. 1 拟周期信号复杂网络构建方法… ................................... (316)

8.6.2 可视图复杂网络构建方法…........…………………………………………（ 317 )

8. 6. 3 相空间复杂网络（递归网络）构建方法…………………………….........… · ( 318 )

8.6.4 信号片段相关复杂网络构建方法……...................……………(319)

8.6. 5 马尔科夫转移概率复杂网络构建方法…........................…....… （ 3 19 )

8. 7 复杂网络信号分析应用举例……………………………………………………… （320）

8. 7. 1 气液两相流流型复杂网络………........….......………………… ( 320)

8. 7.2 气液两相流流体动力学复杂网络…………..………........………(327 )

8. 7. 3 核磁共振成像时间序列脑功能复杂网络……..……….…….........… ( 331 )

8. 7.4 多元时间序列模态迁移复杂网络……………..…......…… (333)

8.8 思考题…………………………………………………………………………（33 7 )

第8 章参考文献……… ………………………………………………………………337 )

第9 章不稳定周期轨道（ UPO ）探寻与应用…..........……......……......…......… .. ( 342)

9. 1 邻近点回归（ CR ）方法及其应用………...............………................…… ( 342 )

9. 1. 1 CR 方法原理………………………………………………………………… （ 342)

9. 1. 2 CR 方法应用举例…………………………………………………………… （ 343 )

9. 2 CR 算法与自适应阔值相结合的UPO 探寻…......................................…·(345 )

9.2. 1 算法原理……… ……………………………………………………………（ 345 )

9.2.2 算法评价………………………………………………………………（346 )

9.2.3 算法应用举例………………………………………………………………… （ 348)

9.3 拓扑迭代（ TR ）方法及其应用…·……………………………………………….. (352)

9. 4 动力学变换（ DT ）方法及其应用………………………………………………… ( 354 )

9.4. 1 原始DT 算法原理………… ………………………………………………… （ 3 54 )

9.4.2 基于庞加莱截面的动力学变换改进算法…......... ....…….............……· (355 )

9.5 有向加权复杂网络（ DWCN ）方法与应用…. . ......…................…..... ...… （ 3 61 )

9.5. 1 算法原理…………………………………………………………………… （ 3 61 )

9. 5. 2 DWCN 算法应用举例…………………………………………………………（ 369)

9.6 思考题… … … ……………………………………………………………………（ 3 72 )

第9 章参考文献…………………………………………………… …… ……………（ 372)